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数学建模人口预测模型

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人口预测与控制
? 人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一. ? 一些发展中国家的人口出生率过高, 越来越严重地威胁 着人类的正常生活, 有些发达国家的自然增长率趋*于 零, 甚至变负, 造成劳动力短缺, 也是不容忽视的问题. 对于我国来说, 尤其为甚. 建立数学模型对人口发展过程进行描述,分析和预 测, 并进而研究控制人口增长和老化的生育策略, 已引 起有关专家, 官员和社会各方面的极大关注和兴趣,是数 学在社会发展中的重要应用领域. 我们可以建立人口的指数增长模型和阻滞增长模 型(Logistic模型), 但是这些模型只考虑人口总数和总

? 的增长率, 不涉及年龄结构. 但在实际上, 在人口预测 这人口按年龄分布状况是十分重要的,因为不同年龄人 的生育率和死亡率有着很大的差别. 两个国家或地区目 前人口总数一样,如果一个国家或地区年青人的比例高 于另一个国家或地区,那么两者人口的发展状况将大不 一样. 因此考虑人口按年龄的分布, 除了时间是一个变 量, 年龄也是一个变量. ? 如果用连续性模型来描述它, 就要用偏微分方程来 描述. 但在实际应用中连续模型很不方便, 需要建立 相应的离散模型. 因为作为已知的输入数据是离散的, 要得到的输出数据也是离散的, 再者对连续模型求解也 是非常困难的.因此我们选择建立一个离散性模型来描 述, 用差分方程来实现它. ?

? 人口发展方程 时间以年为单位,年龄按周岁计算,设最 大年龄为 m岁,记 xi (t ) 为第t 年i岁(满 i 周岁而不到i+1 周岁)的人数, t ? 0,1,2,?, i ? 0,1,2,?, m .只考虑由 于生育, 老化和死亡引起的人口演变,而不计迁移等社会 因素的影响. 记 d i (t ) 为第 t年 i 岁人口的死亡率,即

? 于是

xi (t ) ? xi ?1 (t ? 1) di (t ) ? xi (t )
bi (t )

xi ?1 (t ? 1) ? (1 ? di (t ))xi (t ),
? ?

i ? 0,1,2,?m ? 1, t ? 0,1,2?

(1)

记 bi (t ) 为第t 年 i岁女性生育率,即每位女性*均生

? 生育率, [i1 , i2 ] 为育龄区间, ki (t ) 为第t 年 i 岁人口 的女性比, 则第t 年的出生人数为

f (t ) ? ? bi (t )ki (t ) xi (t )
i ?i1

i2

(2)

? 记 d00 (t ) 为第t 年婴儿死亡率,即第t 年出生但未活到 人口统计时刻的婴儿比例 (婴儿死亡率通常较高, 在人 口统计和建模中一般都不能忽略),

? 于是

f (t ) ? x0 (t ) d 00 (t ) ? f (t )

x0 (t ) ? (1 ? d00 (t )) f (t )

(3)

对于i=0将(2),(3)代入(1)得:

x1 (t ? 1) ? (1 ? d00 (t ))( 1 ? d0 (t ))? bi (t )ki (t ) xi (t )
将 b (t )分解为
i
i ?i1

i2

(4)

bi (t ) ? ? (t )hi (t )
时生育率的高低, 满足
i2

(5)
(6)

其中hi (t ) 是生育模式, 用于调整育龄妇女在不同年龄

? h (t ) ? 1
i ?i1 i

利用(6)式对(5)式求和得到:

? (t ) ? ? bi (t )
i ?i1

i2

(7 )

? 可知 ? (t )表示第t 年每个育龄妇女*均生育的人 数. 若设在t 年后的一个育龄时期内各个年龄的 女性生育率 bi (t ) 都不变,那么 ? (t ) 又可表示为

? (t ) ? bi (t ) ? bi ?1 (t ?1) ? ?? bi (t ? i2 ? i1 )
1 1 2
i

(8)

? 即 ? (t ) 是第 t 年 i1 岁的每位妇女一生*均生 b (t ) 育的人数,称为总和生育率, 或生育胎次,是控制 人口数量的主要参数. 生育模式hi (t ) 是 i 岁妇 女生育的加权因子, 若hi? (t ) ? hi?? (t ) 表示 i ? 岁 妇女的生育率比 i ?? 岁妇女的生育率高。制订生 育政策就是确定 ? (t )和hi (t ) ,通过 ? (t )控制生育 的多少, 通过 hi (t )可以控制生育的早晚和疏密.

? 将(5)式代入(4)式,并记 ? 则(4)式写作

bi?(t ) ? (1 ? d00 (t ))( 1 ? d0 (t ))hi (t )ki (t )
x1 (t ? 1) ? ? (t )? bi?(t ) xi (t )
i ?i1 i2

(9)
(10)

? 引入向量,矩阵记号

x(t ) ? [ x1 (t ), x2 (t ),?, xm (t )] 0 ? 0 ?1 ? d (t ) 0 1 ? A(t ) ? ? ? 1 ? d 2 (t ) ? ? ? ? ? 0 ? 0

T

(11) 0? ? ?? ?? ? ?? 0? ?

0 0 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? d m?1 (t )

(12)

?0 ? 0 bi?1 (t ) ? bi?2 (t ) 0 ? 0? ?0 ? ? ? 0 ? B(t ) ? ? (13) ?? ?? ? ? ? 0 ? m? m ?0 ?
? 那么(10)式和(1)式(i=1,2,…m-1)可以记作

x(t ? 1) ? A(t ) x(t ) ? ? (t ) B(t ) x(t )

(14)

? 这个向量形式的一阶差分方程就是人口发展方程.当初 始人口分布x(0)已知, 又由统计资料确定了A(t), B(t),并 且给定了总和生育率 ? (t ) 以后,用这个方程不难预测人 口的发展方程.

在控制理论中, X(t)成为状态变量, 可将? (t )作为控 制变量. ? 在稳定的社会环境下可认为死亡率,生育模式和女 性比不随时间变化. 于是A(t), B(t)为常数矩阵,(14)化为 ?

x(t ? 1) ? Ax(t ) ? ? (t ) Bx(t )
? 注: 这里有两个明显的人口指数: ? 1)人口总数N(t) m ? N (t ) ? xi (t ) i ?0 ? ? 2)*均年龄R(t)

(15)

?

(16)

1 m R(t ) ? ixi (t ) ? N (t ) i ?0

(17)

? 我国人口总数的预测 用模型(14)根据1978年的统计 资料对我国人口总数作的预测如下: ? 死亡率用下列公式外推:

??i (1978 )[1 ? (t ? 1978 )10?3 ] i ? 5, i ? 50 ?i (t ) ? ? ?i (1978 ) 5 ? i ? 50 ?
? 生育模式取 ? 分布的离散值:
r ?18 ? ? 1 4 2 ? ( r ? 18 ) e , h(r ) ? ? 768 ? ? 0,

(18)

r ? 18 r ? 18

(19)

? 性别比ki (t ) 取统计数据的*均值0.487,在不同的总和生 育率 ? 下得到1980---2080年的一系列结果,计算结果表 明: ? 1)若 ? ? 3 (七十年代中期水*), 则2000年将达到 14.2亿, 2080年达到43.1亿,*于当前世界全人口总和. ? 2)若? ? 2.3 (约为1980年水*),则2000年将达到12.9 亿,2080年为21.2亿. ? 3)若 ? ? 2 (大约是保持人口长期稳定的水*), 则 2000年为12.2亿,72年后达到最大值,此后略有下降. ? 4)若 ? ? 1.5 ,则在2007年达到最大值,到2080年降至 7.8亿(1968年的水*) ? 5)若? ? 1 即全国严格执行一对夫妇只生一个孩子 的政策,则在2004年达到最大值10.6亿,50年后降至9.5亿.




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